Metode Aneh Deret Pangkat untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial

Berikut ini adalah metode deret pangkat untuk menyelesaikan persamaan diferensial dx/dt = k x , dengan k adalah sebuah tetapan , yaitu x := ∑_{j=0}^∞ a_j t^j , tanpa mencari a_j untuk setiap j ∈ {0, 1, 2, 3, ...} . .

x = ∑_{j=0}^∞ a_j t^j     ... (1)

dx/dt = ∑_{j=0}^∞ j a_j t^{j–1}
= ∑_{j=1}^∞ j a_j t^{j–1}
= ∑_{j=0}^∞ (j + 1) a^{j+1} t_j     ... (2)

dx/dt = k x     ... (3)

Substitusi persamaan (1) dan (2) ke persamaan (3) menghasilkan

(j + 1) a_{j+1} = k a_j
⇔ (j + 1) a_{j+1} – k a_j = 0     ... (4)

Substitusi persamaan (4) ke persamaan (1) menghasilkan

x = ∑_{j=0}^∞ a_j t^j
= ∑_{j=0}^∞ a_j t^j + 0
= ∑_{j=0}^∞ a_j t^j + ∑_{j=0}^∞ ( 0 ) e_j

⇔ x = ∑_{j=0}^∞ a_j t^j + ∑_{j=0}^∞ ( (j + 1) a_{j+1} – k a_j ) e_j     ... (5)

di mana {1, e_0, e_1, e_2, e_3, ...} bebas linier . .

Tampak bahwa vektor e_j merupakan pengali dari sebuah syarat (j + 1) a_{j+1} – k a_j = 0 untuk setiap j ∈ {0, 1, 2, 3, ...} , yaitu syarat yang menghubungkan tetapan a_0 , a_1 , a_2, a_3 , ... . .

Memang, secara nalar, penyelesaian persamaan dx/dt = k x itu adalah x = A e^{kt} dengan A adalah sebuah tetapan integrasi . .   Tetapi, persamaan (5) itu sebenarnya setara dengan persamaan x = A e^{kt} . .

Harap maklum . .

Metode ini tampaknya cukup manjur untuk menyelesaikan segala persamaan diferensial, baik biasa maupun parsial, dengan menyertakan jari-jari konvergensi deret pangkat tersebut .